業界で使用される巻くには「早めに」「急いで」という意味があります。

「巻きでお願いします」ということは「早めに、急いでお願いします」ということです。

巻きの由来は一説によると「ゼンマイを巻く」というところからきており、ゼンマイを巻くことで早く動いてということです。

例文:収録時間が押しているから巻きで終わらせて。(収録時間が迫っているから急いで終わらせて。)
   予定していたものよりも巻きで終わった。(予定していたものよりも早めに終わった。)”