結構日常的にも使う言葉ではないかと思います。予定が押している、などと言うこともあるのではないでしょうか。

押している時間を確認

そのとおりで、押すというのは当初の見込みよりも長引いてしまうことを指します。台詞が決められた時間内に収まらなかったりしたときに、押してしまっている、というように使われます。

場合によっては、意図的に長引かせることを指すときもあります。思った以上に時間が余るときに、押して行こう、と言うと、意図的に長引かせよう、という意味になります。